中高空大型飞艇(飞行高度为6~0 km)及平流层飞艇是一种主要靠浮力升空飞行的飞行器，由于其驻空时间长、载重量大和覆盖范围广等特点，能实现高分辨率对地观测及通信中继等，在军事和民用等方面有着广泛的应用前景，近年来受到各国广泛关注，成为各国航空领域的研究热点^[1]。

一个飞艇通常有2个或3个副气囊。低空飞艇体积较小，副气囊体积约为艇体体积的20%~30%，而20 km左右的平流层飞艇体积巨大，副气囊体积占比会超过90%^[2]。所以，大型飞艇的俯仰运动会引起艇体内副气囊的运动，反过来，副气囊运动也会影响飞艇的俯仰运动，这种耦合动力学会进而影响飞艇的纵向稳定性和操纵性，而且一般副气囊体积越大，影响越明显。NASA相关研究报告^[3]对液体在运动容器中的动力学模型进行了研究，并分析了其在航空航天领域的应用，奠定了理论基础； Maekawa和Saito^[4]将副气囊简化为圆柱容器，分析了其对海平面上的某小型飞艇纵向运动的影响； Delaurier^[5]通过建立弹簧阻尼系统模拟了系留飞艇副气囊的运动，分析了其对飞艇运动的影响。Nakadate^[6]和Li等^[7]对SPF-2飞艇进行了飞行试验，发现飞艇升空过程中副气囊体积变化很大，其质心纵向位置也发生较大变化，证明艇体与副气囊之间存在较强的动力学耦合效应。

本文针对某大型飞艇，建立其纵向小扰动运动方程，在此基础上，借鉴Maekawa和Saito^[4]圆柱容器的副气囊模型，建立飞艇与副气囊动力学耦合方程，同时考虑在不同高度下飞艇的质量变化，分析了副气囊运动对飞艇纵向稳定性与操纵性的影响，并分析了副气囊不同设计尺寸对飞艇运动的影响，可为飞艇设计及副气囊参数确定提供参考。

1 飞艇运动建模 1.1 飞艇模型结构

本文研究的大型飞艇为一个基于YEZ-2A^[8]飞艇改进设计的双椭圆常规布局的软式飞艇，尾翼采用“+”结构布局，吊舱位于艇囊下方，飞艇质心位于飞艇纵剖面内体积中心正下方，矢量推力螺旋桨在吊舱两侧对称布置，推力倾角为μ，如图 1所示。该飞艇巡航高度为6~8 km，部分参数如表 1所示。

1.2 飞艇动力学建模及其线性化

由于飞艇运动过程中高度变化和副气囊充放气的影响，飞艇重心位置发生变化，为便于描述和建模，选择飞艇艇体坐标系进行动力学建模，原点选为飞艇体积中心，同时引入以下几个假设：

1) 飞艇为刚体，忽略其弹性效应，即保持飞艇体积不变。

2) 飞艇具有纵向对称面，且重心位于纵向对称平面内，惯性积I_xy=I_yz=0。

3) 飞艇体积中心与浮心重合。

利用牛顿第二定律得到大型飞艇的六自由度动力学模型如下：

式中： u、v和w分别为艇体坐标系中轴向、侧向和垂直方向上的线速度；p、q和r分别为绕坐标轴的滚转、俯仰和偏航角速度；M为质量矩阵：

其中：m_x=m+m_airk₁，m为飞艇质量，m_air为飞艇所排开的空气质量；m_y=m_z=m+m_airk₂；J_x=I_x；J_y=(1+k₃)I_y;J_z=(+k₃)I_z；x_G和z_G为飞艇重心坐标；k₁、k₂和k₃为势流理论分析得到的椭圆惯性因子；，I_x、I_y和I_z分别为绕重心坐标O_bx_b、O_by_b和O_bz_b的转动惯量，l和d分别为飞艇总长度和最大直径^[9-12]。

F_d为动力矢量，只与速度量有关：

F_A为气动力矢量，计算采用Mueller和Paluszek^[13]的半经验模型：

其中：α为迎角；β为偏滑角；δ_RUD为方向舵偏角；δ_ELV为升降舵偏角；X₁a、Y₁a和Z₁a为气动力；L₁a、M₁a和N_a为气动力矩。

F_B为浮力矢量，F_G为重力矢量，F_T为推力矢量，都表示为3个坐标轴的力和力矩分量，这里不再赘述。

将飞艇纵向运动分为基准运动和扰动运动，在一定的基准运动状态下，对飞艇动力学方程进行线性化，选择状态向量为x_L=[u,w,q,θ]^T(θ为俯仰角)，控制输入向量为u_L=[T u δ_e]^T,得到飞艇纵向小扰动方程如下:

式中：d_z为推力在艇体坐标系的z坐标；δ_e为纵向升降舵操纵量；为飞艇浮力；G为飞艇重力；下标e表示飞艇基准运动状态；X^u_a、X^w_a、Z^u_a和Z^w_a等为气动力导数，计算方法参考文献[14-17]的飞艇模型。

2 副气囊动力学模型

对于飞艇副气囊的动力学模型，其基本思想是借鉴流体在运动容器中的运动机理，将容器内的流体作为一个多体弹簧阻尼系统，同时将副气囊这个柔性结构近似为一个刚性容器^[4]。事实上，由于薄膜的抗拉刚度、压力维形和张线的存在，副气囊的形变可能很小。因此，在本文中假设成一个刚性圆柱容器是合理的，考虑副气囊的飞艇如图 2所示。

考虑到容器是一个直径为d的圆柱，且内部充满了高度为h流体，则该流体在运动中的自然频率为

式中:g为重力加速度;ξ_n为1阶第一类贝塞尔函数的解。

如图 3所示，用该等效模型来表示流体的动态运动。有

式中:m₁为容器中流体的总质量;m_n为与第n个自然频率一致的质量;k_n为弹簧刚度;h_n为m_n的位置;m₀为固定块的质量；h₀为固定块的高度；ρ为密度。

使用这些参数来表示各质量块的运动方程为

式中：y₀为重心的位移；y_n为第n个质量的附加位移；φ₀为重心的转动角度；γ_n为第n个系统的临界阻尼比。通过每一个质量块的运动来表示对容器的反作用力:

因此，作用在容器上重心的反作用力为

式中:

3 副气囊与飞艇方程耦合

飞艇通常有一个副气囊在前面，一个在后面，如图 3所示。从第2节可以得出，无限质量系统可以当作副气囊的力学模型。然而，高于二阶的质量比第一阶系统小很多，甚至可以忽略不计，故本文计算时忽略二阶以上的部分。表 2给出了某飞艇副气囊的各阶等效参数^[16]，其中副气囊几何参数如下：d=3.24 m,h=4 m,ρ=1.225 kg/m³,m_T=40.4 kg。可以发现，忽略二阶以上质量块是合理的。

副气囊坐标系和飞艇运动坐标系之间的关系为

式中:l_x和l_z分别为副气囊重心与艇体的中心在x和z方向上的距离。因此，

令y₁为飞艇前部副气囊的一阶质量m₁位移，y₂为它的速度(y₂=y₁)；y₃为飞艇尾部副气囊的一阶质量，y₄为它的速度(y₄=y₃)。然后把式(2)转换为以下形式：

式中：

其中:下标f和a分别表示飞艇前部和尾部的副气囊。

由副气囊晃动引起的作用在飞艇上的力可以转换到艇体坐标系表示为

把式(23)、式(22)用矩阵表示：

式中:P、G、H及J定义如下：

把副气囊作用耦合到飞艇运动方程中，并定义以下状态变量：

可得加上副气囊作用的飞艇耦合运动方程为

式中:

4 数值仿真 4.1 飞艇稳定性分析

采用前面的大型飞艇模型，分别仿真飞艇在海平面(0 m)、3 000 m及巡航高度(6 000 m)的俯仰稳定性，结果见图 4。其中，假设飞艇前后副气囊形状相同，副气囊相关参数见表 3。

图 4给出了飞艇在不同高度下受到0.05 rad俯仰角扰动情况下的动态响应。

可以看出，在H=0 m处，当不考虑副气囊动力学效应时，飞艇参数经过小幅振荡后很快收敛；而考虑副气囊效应后，飞艇俯仰稳定性受到很大影响，纵向参数u、w、q和θ在50 s后均出现振荡加剧而发散的结果。这是由于海平面飞艇副气囊体积占比最大(达74.6%)，副气囊与飞艇耦合运动明显，极易导致飞艇俯仰运动发散。

当飞艇在3 000 m和6 000 m时，副气囊体积逐渐减小，导致副气囊对飞艇运动的影响减小。从图 4(c)发现，考虑副气囊时，飞艇除参数u收敛较慢外，w、q和θ等均经过小幅振荡，在50 s后达到收敛。当飞艇飞至6 000 m高空时，副气囊体积占比减小至52.8%，副气囊运动耦合效应明显减小，各项参数在40 s后很快收敛，具有很好的俯仰稳定性。

4.2 飞艇操纵性分析

针对该大型飞艇模型，数值仿真飞艇在海平面(0 m)、3 000 m及巡航高度(6 000 m)的飞艇俯仰操纵响应，结果如图 5所示。其中，飞艇基准状态为速度V=11.0 m/s，迎角为.962°，升降舵输入为0.1 rad的阶跃响应。

对比图 5(a)~图 5(c)可以看出，不考虑副气囊效应时，飞艇在输入响应下50 s后就很快达到稳定状态。考虑副气囊效应时，与稳定性类似，在海平面(H=0 m)，副气囊体积占比较大，耦合效应明显，其运动基频为0.15 Hz，相应当量质量为13.6 t，故飞艇在0. rad阶跃输入下纵向各项参数均发生振荡，并逐渐发散；当飞艇飞行高度增加时，如到达3 000 m和6 000 m时，随着副气囊占比下降，其振荡基频分别为0.48 Hz和0.143 Hz，相应当量质量为9.9 t和6.8 t，其耦合效应减小，u、w、q和θ飞艇各项参数均能够经过小幅振荡后达到收敛，但与不考虑副气囊情况相比，二者u、w和θ的稳态值并不相等，例如，6 000 m处飞艇在副气囊耦合影响下，其俯仰角θ稳态响应值与不考虑耦合相比减小近0.03 rad(1.8)，这说明副气囊效应降低了飞艇的操纵性，在进行飞艇设计时应该予以考虑。

4.3 飞艇副气囊形状影响分析

为了研究副气囊形状对其耦合效应的影响，选取该飞艇在3 000 m处基准状态下，保持其副气囊体积不变，直径增大为，高度缩小为20.24×0.5 m(即)，使其形状更加“矮胖”，给定升降舵0. rad阶跃输入，得到飞艇响应如图 6所示；同时给定0.05 rad的俯仰角扰动得到飞艇的动态响应如图 7所示。

从图 6和图 7可以看出，副气囊体积不变的情况下，当副气囊直径扩大后，飞艇耦合动力学效应的影响有所变强，振荡周期增大。特别是飞艇轴向速度u、发散较快，其他参数也都在50 s后逐渐发散，这是因为副气囊形状改变后，其基频变为0.097 Hz(变形前为0.48 Hz)，很接近飞艇纵向钟摆频率0. Hz，同时相应当量质量变为6.9 t(变形前为9.9 t)，导致飞艇产生较大的动力学耦合现象，引起飞艇俯仰运动发散。

相反地，当保持仿真条件不变，让副气囊直径缩小为原来的，高度就增加为原来的2倍(即)，通过仿真得到该情况下飞艇的基频为0.8 Hz，相应当量质量为3.67 t，这使得飞艇基频远离飞艇钟摆频率，同时当量质量也减小了很多，耦合效应明显减小，飞艇的输入响应几乎与不考虑副气囊效应时的情况相同，如图 8和图 9所示。

5 结 论

本文对某大型飞艇，建立其纵向小扰动方程，借鉴Maekawa和Saito圆柱容器的副气囊模型，建立了基于副气囊的飞艇耦合动力学模型，着重分析了副气囊效应对大型飞艇俯仰稳定性及操纵性的影响，得到如下结论：

1) 对于体积巨大的高空大型飞艇，副气囊占比很大，其动力学耦合效应不可忽略，对飞艇俯仰运动产生很大影响，随着飞艇升空，副气囊体积减小，耦合效应也逐渐减小。

2) 大型飞艇在副气囊耦合效应下的操纵稳态响应值小于忽略耦合效应的响应值，即耦合效应将降低飞艇的操纵性，且随着飞艇高度增加，这种影响会逐渐减小。所以，在进行飞艇设计的时候需要予以考虑。

3) 保持飞艇副气囊体积不变，副气囊形状越“瘦高”，其基频越远离飞艇钟摆频率，动力学耦合效应的影响越小；形状越“矮胖”，副气囊运动基频越接近飞艇钟摆特征频率，耦合现象越明显。